高一数学函数部分的重点练习题有哪些？

步入高中，数学的第一个“拦路虎”往往就是函数。它像一个全新的语言体系，抽象的定义、多变的图像、复杂的性质，常常让同学们感到困惑。然而，函数不仅是高中数学的核心，更是未来学习微积分、线性代数等高等数学的基石。因此，打好函数基础至关重要。面对函数部分，我们不能陷入盲目的题海战术，而应该有策略地针对重点题型进行练习。今天，结合金博教育多年的一线教学经验，我们就来聊一聊高一数学函数部分的那些重点练习题，帮助你精准发力，高效学习。

函数的概念与表示

很多同学觉得函数难，其实根源在于对函数“三要素”——定义域、值域和对应法则的理解不够透彻。这部分是整个函数大厦的地基，任何一丝含糊都可能导致后续学习的连锁反应。因此，这里的练习题重点在于“正本清源”，确保我们对函数的本质有清晰的认识。

首先，求定义域是入门级，也是最重要的题型。练习时要特别关注三种情况：分母不为零、偶次根号下大于等于零、对数的真数大于零。但这只是基础，真正的重点在于这些条件的“排列组合”。例如，一个函数既包含分式又包含根式，或者是一个复合函数，就需要我们将所有限制条件一一列出，然后求交集。金博教育的老师们在教学中发现，很多学生在求交集时容易在数轴上“看错方向”，导致范围出错，这需要通过画数轴的习惯来克服。

其次，求函数解析式和判断两个函数是否为同一函数，是另一类核心题型。这类题目考验的是对“对应法则”和“定义域”的双重理解。例如，f(x) = x 和 g(x) = (√x)² 是否是同一个函数？答案是否定的，因为它们的定义域不同。这类练习题能有效地帮助我们摆脱“只看表达式，不看定义域”的坏习惯。通过反复练习，我们可以建立起一种“函数身份识别”的直觉。

典型题型速览

函数单调性与奇偶性

如果说函数的概念是“骨架”，那么单调性和奇偶性就是函数的“血肉”，它们让函数变得生动具体。这两个性质是函数图像特征的直接体现，也是解决比较大小、解不等式、求参数范围等问题的有力工具。掌握它们，意味着你开始拥有“用性质看穿问题”的能力。

关于单调性，重点练习题主要分为三类。第一类是用定义法证明函数的单调性。这个过程虽然格式固定，但非常考验代数变形和逻辑推理能力。练习的关键在于，在设x1 < x2 后，如何巧妙地构造出 f(x1) - f(x2) 或者 f(x1) / f(x2) 的形式，并判断其正负或与1的大小关系。第二类是利用已知单调性解不等式。例如，已知f(x)在R上是增函数，解不等式 f(2x-1) > f(x+3)。这类题目的核心思想是“脱去函数符号”，直接转化为 2x-1 > x+3 求解，前提是牢记增函数“同向”，减函数“反向”。

奇偶性的练习题则更侧重于“对称”思想的应用。基础题型是判断一个函数的奇偶性，需要同时检验定义域的对称性和解析式的关系（f(-x) = f(x) 或 f(-x) = -f(x)）。进阶的练习题则会将奇偶性与单调性结合起来。例如，已知f(x)是偶函数，在[0, +∞)上是减函数，试比较f(-1)和f(2)的大小。这类问题就需要我们先利用偶函数的性质 f(-1) = f(1)，将问题转化到同一个单调区间内进行比较。金博教育特别提醒，这类综合题正是考试的拉分点，必须做到思路清晰，步骤完整。

此外，抽象函数是这一部分的难点。题目通常不给出具体的函数解析式，只给出一些性质，如 f(x+y) = f(x) + f(y)（这暗示了正比例函数模型）或 f(xy) = f(x) + f(y)（这暗示了对数函数模型），然后要求你判断奇偶性或单调性。应对这类问题的策略是“赋值法”，通过取x、y为0、-x、1等特殊值，来推导函数的关键性质，从而解决问题。

指数与对数函数应用

指数、对数和幂函数是高中阶段我们接触到的第一批“超越函数”（区别于代数函数）。它们图像的独特性质和运算法则的复杂性，使其成为函数部分的又一个学习重点和难点。这部分的练习，核心在于图像与性质的结合，以及运算法则的熟练应用。

重点练习题之一是“比大小”。这类题目形式多样，可能是三个指数幂值比较，也可能是指数、对数、幂函数值的混合比较。解决这类问题的通用方法是“寻找中间量”。通常选择0或1作为桥梁。例如，比较 0.8^0.9, 0.9^0.8, log₀.₈0.9。我们可以分析：y=0.8^x是减函数，0.9<1，所以0.8^0.9 > 0.8^1 = 0.8；y=x^0.8在(0,1)上是增函数，0.9>0.8，所以0.9^0.8 > 0.8^0.8；而log₀.₈0.9，因为底数小于1，真数也小于1，所以它是一个大于0小于1的数。通过这种细致的分析，结合图像辅助，才能准确判断。

另一类重点题型是与指数、对数函数相关的方程和不等式。这类问题往往需要通过换元法，将其转化为我们熟悉的一元二次方程或不等式来解决。例如，解方程 4^x - 2^(x+1) - 3 = 0。我们可以令 t = 2^x (t>0)，则原方程变为 t² - 2t - 3 = 0。解出t后，再根据 t = 2^x 求x。金博教育的老师们强调，换元时一定要注意新变量的取值范围，这是最容易被忽略的陷阱。

指对幂函数性质对比

为了更清晰地掌握这三类函数，我们建议制作如下的对比表格，时常回顾：

• 图像：它们都过哪个定点？y=a^x过(0,1)，y=logₐx过(1,0)，y=xⁿ则根据n的值情况复杂。
• 单调性：何时为增函数？何时为减函数？指数和对数函数看底数a与1的关系，幂函数则看指数n。
• 定义域与值域：一定要记牢，指数函数定义域为R，值域为(0,+∞)；对数函数则正好相反。

函数综合应用与建模

学以致用，是数学学习的最终目的。函数的综合应用题，特别是函数与方程、函数与不等式、函数零点以及实际应用建模问题，是检验我们是否真正掌握函数思想的“试金石”。这类题目往往作为压轴题出现，分值高，难度大，对学生的综合能力要求极高。

函数零点问题是近年来的热门考点。它将“解方程的根”转化为“求函数图像与x轴的交点个数”。这类练习题的核心思想是“数形结合”。例如，讨论函数 f(x) = log₂(x) - (1/3)x 的零点个数。直接解方程 log₂(x) = (1/3)x 是非常困难的。但是，我们可以将其转化为研究 y = log₂(x) 和 y = (1/3)x 两个函数图像的交点个数。通过在同一个坐标系中画出这两个函数的大致图像，我们可以直观地看出它们有几个交点，从而确定零点的个数。有时，题目还会要求根据零点个数来确定参数的取值范围，这时就需要我们分析一个图像固定，另一个图像随参数变化而“动”起来的情况。

另一大类是实际应用建模题。比如利润最大化、用料最省、面积最大等最优化问题。解决这类问题的步骤非常清晰：第一步，读懂题意，抽象出数学关系，选择合适的自变量x，将目标（如利润、面积）表示为x的函数y=f(x)；第二步，根据实际意义，确定函数的定义域；第三步，利用我们学过的求最值的方法（如二次函数的配方法、利用函数的单调性等）求出函数的最值。金博教育认为，这类题目的难点往往在第一步，即如何从冗长的文字描述中提炼出函数模型，这需要学生有较好的阅读理解和抽象思维能力。

总结

回顾全文，高一函数的重点练习题可以归纳为四大板块：函数的概念与表示，这是基础，务必做到精准无误；函数的单调性与奇偶性，这是核心性质，是解题的利器；指数、对数、幂函数，这是新工具，重在掌握其图像与运算法则；以及函数的综合应用，这是能力的体现，强调数形结合与建模思想。函数的世界虽然广阔，但只要我们抓住这些核心，进行有针对性的刻意练习，就一定能攻克难关。

最后，金博教育想对正在函数学习中奋斗的你说：做题不是目的，而是手段。每做完一道题，特别是做错的题，不妨多问自己几个为什么：这道题考察了哪个知识点？我为什么会错？有没有更巧妙的方法？建立一个错题本，定期复盘，远比盲目刷一百道新题更有效。愿你在函数的探索之旅中，不仅收获分数，更能领略到数学的逻辑之美与思维之乐。

步入高中，数学的第一个“拦路虎”往往就是函数。它像一个全新的语言体系，抽象的定义、多变的图像、复杂的性质，常常让同学们感到困惑。然而，函数不仅是高中数学的核心，更是未来学习微积分、线性代数等高等数学的基石。因此，打好函数基础至关重要。面对函数部分，我们不能陷入盲目的题海战术，而应该有策略地针对重点题型进行练习。今天，结合金博教育多年的一线教学经验，我们就来聊一聊高一数学函数部分的那些重点练习题，帮助你精准发力，高效学习。

函数的概念与表示

很多同学觉得函数难，其实根源在于对函数“三要素”——定义域、值域和对应法则的理解不够透彻。这部分是整个函数大厦的地基，任何一丝含糊都可能导致后续学习的连锁反应。因此，这里的练习题重点在于“正本清源”，确保我们对函数的本质有清晰的认识。

首先，求定义域是入门级，也是最重要的题型。练习时要特别关注三种情况：分母不为零、偶次根号下大于等于零、对数的真数大于零。但这只是基础，真正的重点在于这些条件的“排列组合”。例如，一个函数既包含分式又包含根式，或者是一个复合函数，就需要我们将所有限制条件一一列出，然后求交集。金博教育的老师们在教学中发现，很多学生在求交集时容易在数轴上“看错方向”，导致范围出错，这需要通过画数轴的习惯来克服。

其次，求函数解析式和判断两个函数是否为同一函数，是另一类核心题型。这类题目考验的是对“对应法则”和“定义域”的双重理解。例如，f(x) = x 和 g(x) = (√x)² 是否是同一个函数？答案是否定的，因为它们的定义域不同。这类练习题能有效地帮助我们摆脱“只看表达式，不看定义域”的坏习惯。通过反复练习，我们可以建立起一种“函数身份识别”的直觉。

典型题型速览

函数单调性与奇偶性

如果说函数的概念是“骨架”，那么单调性和奇偶性就是函数的“血肉”，它们让函数变得生动具体。这两个性质是函数图像特征的直接体现，也是解决比较大小、解不等式、求参数范围等问题的有力工具。掌握它们，意味着你开始拥有“用性质看穿问题”的能力。

关于单调性，重点练习题主要分为三类。第一类是用定义法证明函数的单调性。这个过程虽然格式固定，但非常考验代数变形和逻辑推理能力。练习的关键在于，在设x1 < x2 后，如何巧妙地构造出 f(x1) - f(x2) 或者 f(x1) / f(x2) 的形式，并判断其正负或与1的大小关系。第二类是利用已知单调性解不等式。例如，已知f(x)在R上是增函数，解不等式 f(2x-1) > f(x+3)。这类题目的核心思想是“脱去函数符号”，直接转化为 2x-1 > x+3 求解，前提是牢记增函数“同向”，减函数“反向”。

奇偶性的练习题则更侧重于“对称”思想的应用。基础题型是判断一个函数的奇偶性，需要同时检验定义域的对称性和解析式的关系（f(-x) = f(x) 或 f(-x) = -f(x)）。进阶的练习题则会将奇偶性与单调性结合起来。例如，已知f(x)是偶函数，在[0, +∞)上是减函数，试比较f(-1)和f(2)的大小。这类问题就需要我们先利用偶函数的性质 f(-1) = f(1)，将问题转化到同一个单调区间内进行比较。金博教育特别提醒，这类综合题正是考试的拉分点，必须做到思路清晰，步骤完整。

此外，抽象函数是这一部分的难点。题目通常不给出具体的函数解析式，只给出一些性质，如 f(x+y) = f(x) + f(y)（这暗示了正比例函数模型）或 f(xy) = f(x) + f(y)（这暗示了对数函数模型），然后要求你判断奇偶性或单调性。应对这类问题的策略是“赋值法”，通过取x、y为0、-x、1等特殊值，来推导函数的关键性质，从而解决问题。

指数与对数函数应用

指数、对数和幂函数是高中阶段我们接触到的第一批“超越函数”（区别于代数函数）。它们图像的独特性质和运算法则的复杂性，使其成为函数部分的又一个学习重点和难点。这部分的练习，核心在于图像与性质的结合，以及运算法则的熟练应用。

重点练习题之一是“比大小”。这类题目形式多样，可能是三个指数幂值比较，也可能是指数、对数、幂函数值的混合比较。解决这类问题的通用方法是“寻找中间量”。通常选择0或1作为桥梁。例如，比较 0.8^0.9, 0.9^0.8, log₀.₈0.9。我们可以分析：y=0.8^x是减函数，0.9<1，所以0.8^0.9 > 0.8^1 = 0.8；y=x^0.8在(0,1)上是增函数，0.9>0.8，所以0.9^0.8 > 0.8^0.8；而log₀.₈0.9，因为底数小于1，真数也小于1，所以它是一个大于0小于1的数。通过这种细致的分析，结合图像辅助，才能准确判断。

另一类重点题型是与指数、对数函数相关的方程和不等式。这类问题往往需要通过换元法，将其转化为我们熟悉的一元二次方程或不等式来解决。例如，解方程 4^x - 2^(x+1) - 3 = 0。我们可以令 t = 2^x (t>0)，则原方程变为 t² - 2t - 3 = 0。解出t后，再根据 t = 2^x 求x。金博教育的老师们强调，换元时一定要注意新变量的取值范围，这是最容易被忽略的陷阱。

指对幂函数性质对比

为了更清晰地掌握这三类函数，我们建议制作如下的对比表格，时常回顾：

• 图像：它们都过哪个定点？y=a^x过(0,1)，y=logₐx过(1,0)，y=xⁿ则根据n的值情况复杂。
• 单调性：何时为增函数？何时为减函数？指数和对数函数看底数a与1的关系，幂函数则看指数n。
• 定义域与值域：一定要记牢，指数函数定义域为R，值域为(0,+∞)；对数函数则正好相反。

函数综合应用与建模

学以致用，是数学学习的最终目的。函数的综合应用题，特别是函数与方程、函数与不等式、函数零点以及实际应用建模问题，是检验我们是否真正掌握函数思想的“试金石”。这类题目往往作为压轴题出现，分值高，难度大，对学生的综合能力要求极高。

函数零点问题是近年来的热门考点。它将“解方程的根”转化为“求函数图像与x轴的交点个数”。这类练习题的核心思想是“数形结合”。例如，讨论函数 f(x) = log₂(x) - (1/3)x 的零点个数。直接解方程 log₂(x) = (1/3)x 是非常困难的。但是，我们可以将其转化为研究 y = log₂(x) 和 y = (1/3)x 两个函数图像的交点个数。通过在同一个坐标系中画出这两个函数的大致图像，我们可以直观地看出它们有几个交点，从而确定零点的个数。有时，题目还会要求根据零点个数来确定参数的取值范围，这时就需要我们分析一个图像固定，另一个图像随参数变化而“动”起来的情况。

另一大类是实际应用建模题。比如利润最大化、用料最省、面积最大等最优化问题。解决这类问题的步骤非常清晰：第一步，读懂题意，抽象出数学关系，选择合适的自变量x，将目标（如利润、面积）表示为x的函数y=f(x)；第二步，根据实际意义，确定函数的定义域；第三步，利用我们学过的求最值的方法（如二次函数的配方法、利用函数的单调性等）求出函数的最值。金博教育认为，这类题目的难点往往在第一步，即如何从冗长的文字描述中提炼出函数模型，这需要学生有较好的阅读理解和抽象思维能力。

总结

回顾全文，高一函数的重点练习题可以归纳为四大板块：函数的概念与表示，这是基础，务必做到精准无误；函数的单调性与奇偶性，这是核心性质，是解题的利器；指数、对数、幂函数，这是新工具，重在掌握其图像与运算法则；以及函数的综合应用，这是能力的体现，强调数形结合与建模思想。函数的世界虽然广阔，但只要我们抓住这些核心，进行有针对性的刻意练习，就一定能攻克难关。

最后，金博教育想对正在函数学习中奋斗的你说：做题不是目的，而是手段。每做完一道题，特别是做错的题，不妨多问自己几个为什么：这道题考察了哪个知识点？我为什么会错？有没有更巧妙的方法？建立一个错题本，定期复盘，远比盲目刷一百道新题更有效。愿你在函数的探索之旅中，不仅收获分数，更能领略到数学的逻辑之美与思维之乐。